Calcul infinitésimal Exemples

$y \sqrt{x + 1} = 4$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 4$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.7.3

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $y$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.11

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.11.2

Multipliez $\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.12

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

Étape 3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Pour écrire ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Associez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ et $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.3.2

Multipliez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.2.1

Déplacez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.3.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{1} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.3.3

Simplifiez $2 {(x + 1)}^{1} y'$ .

$\frac{2 (x + 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x + 2) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.1.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x y' + 2 y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x y' + 2 y' + y = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y' + 2 y' = - y$

Étape 6.3.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x y' + 2 y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x y'$ .

$2 y' x + 2 y' = - y$

Étape 6.3.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y'$ .

$2 y' x + 2 y' \cdot 1 = - y$

Étape 6.3.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' x + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (x + 1) = - y$

Étape 6.3.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (x + 1) = - y$ par $2 (x + 1)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (x + 1) = - y$ par $2 (x + 1)$ .

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Étape 6.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 1)}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 1)}$