Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{3} - 8}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{3} - 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(2 + x)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{3} - 8}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(2 + x)}^{3} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 2 + x$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $3 {(2 + x)}^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2}}{1}$

Étape 1.4

Divisez $3 {(2 + x)}^{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 3 {(2 + x)}^{2}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}$

Étape 2.2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(2 + x)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 {(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 {(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 {(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 {(2 + 0)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$3 \cdot 2^{2}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 4$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12$