Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x + y) = y^{2} \cos (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} \cos (x))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cdot \cos (x) y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cos (x) y y'$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Étape 5.1.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Étape 5.1.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1.4.1

Multipliez $\cos (x + y)$ par $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Étape 5.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y y' \cos (x)$

Étape 5.3

Soustrayez $2 y y' \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x)$

Étape 5.4

Soustrayez $\cos (x + y)$ des deux côtés de l’équation.

$y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Étape 5.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x)$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Étape 5.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Étape 5.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x))$ .

$y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ par $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ par $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Étape 5.6.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Étape 5.6.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.6.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Étape 5.6.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2} \sin (x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Étape 5.6.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (x + y)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Étape 5.6.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Étape 5.6.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.3.2.5.1

Réécrivez $- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ comme $- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Étape 5.6.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$