Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{2} - 2 x = 3$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x) = \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' - 2 = - 2 y^{2} x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ par $2 x^{2} y$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ par $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 5.2.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$