Calcul infinitésimal Exemples

$x y + 2 x + 3 y = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y + 2 x + 3 y) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + 2 x + 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y' + y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$x y' + y + 2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y' + y + 2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y + 2 + 3 y'$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + y + 3 y' + 2$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + y + 3 y' + 2 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 3 y' + 2 = - y$

Étape 5.1.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 3 y' = - y - 2$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $x y' + 3 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x + 3 y' = - y - 2$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y'$ .

$y' x + y' \cdot 3 = - y - 2$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' x + y' \cdot 3$ .

$y' (x + 3) = - y - 2$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (x + 3) = - y - 2$ par $x + 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + 3) = - y - 2$ par $x + 3$ .

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y - 2}{x + 3}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- (y) - 2}{x + 3}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (y) - 1 (2)}{x + 3}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (y + 2)}{x + 3}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.5.1

Réécrivez $- (y + 2)$ comme $- 1 (y + 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{x + 3}$

Étape 5.3.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y + 2}{x + 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + 2}{x + 3}$