Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (4 x + y) = 4 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\tan (4 x + y)) = \frac{d}{d x} (4 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 4 x + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + y$ .

$\sec^{2} (4 x + y) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ par $\sec^{2} (4 x + y)$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ par $\sec^{2} (4 x + y)$ .

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (4 x + y)$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $4 + y'$ par $1$ .

$4 + y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$