Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} - x^{3} y = 6$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - x^{3} y) = \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} - x^{3} y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Étape 2.2.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3} y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Étape 2.3.5

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y') - (3 y x^{2})$

Étape 2.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - x^{3} y' - 3 y x^{2}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y$

Étape 3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = - y^{2}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $3 x^{2} y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x y y' - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Étape 5.2

Factorisez $x y'$ à partir de $2 x y y' - x^{3} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x y'$ à partir de $2 x y y'$ .

$x y' (2 y) - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Étape 5.2.2

Factorisez $x y'$ à partir de $- x^{3} y'$ .

$x y' (2 y) + x y' (- x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Étape 5.2.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' (2 y) + x y' (- x^{2})$ .

$x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ par $x (2 y - x^{2})$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ par $x (2 y - x^{2})$ .

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2 y - x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (2 y - x^{2})$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{(2 y - x^{2}) x}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(2 y - x^{2}) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{2} + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} + 3 x y x$ .

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Étape 5.3.3.5.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.5.1.2

Factorisez $y$ à partir de $3 x y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.5.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y) + y (3 x \cdot x)$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.5.2.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 (x \cdot x))}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.3.3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (- 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.6.4.1

Réécrivez $- (y - 3 x^{2})$ comme $- 1 (y - 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 5.3.3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$