Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 2.10

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 8 x^{- 3} - 10 (3 x^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$- 8 x^{- 3} - 30 x^{2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 30 x^{2} - \frac{8}{x^{3}}$