Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(2 x^{3} + 9 x)}^{5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 2 x^{3} + 9 x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{3} + 9 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9 x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9 x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{3} + 9 x$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9 x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + 9 \cdot 1)$

Étape 2.7

Multipliez $9$ par $1$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + 9)$