Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2^{3^{x^{2}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = 3^{x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$2^{u_{1}} \ln (2) \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3^{x^{2}}$ .

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 3^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (\frac{d}{d u_{2}} [3^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{u_{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (2 x))$

Étape 4

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + 3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réorganisez les facteurs de $2^{1 + 3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$ .

$2^{1 + 3^{x^{2}}} \cdot 3^{x^{2}} x \ln (2) \ln (3)$

Étape 6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2^{1 + 3^{x^{2}}} \cdot 3^{x^{2}} x \ln (2) \ln (3)$ .

$x \cdot 2^{1 + 3^{x^{2}}} \cdot 3^{x^{2}} \ln (2) \ln (3)$