Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} {(x - 2)}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x - 2)}^{4}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{4}] + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \cdot 1) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} (2 x)$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 2)}^{4}$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 \cdot {(x - 2)}^{4} x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ à partir de $x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 {(x - 2)}^{4} x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ à partir de $x^{2} (4 {(x - 2)}^{3})$ .

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + 2 {(x - 2)}^{4} x$

Étape 4.1.2

Factorisez $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ à partir de $2 {(x - 2)}^{4} x$ .

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$

Étape 4.1.3

Factorisez $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ à partir de $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$ .

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

Étape 4.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 x {(x - 2)}^{3} (2 \cdot x + x - 2)$

Étape 4.2.3

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$2 x {(x - 2)}^{3} (3 x - 2)$