Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x (6 x - 5 x^{2})$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x (6 x - 5 x^{2})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 6 x - 5 x^{2}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [6 x - 5 x^{2}] + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$3 (x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (x (6 - 5 (2 x)) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \cdot 1)$

Étape 3.9

Multipliez $6 x - 5 x^{2}$ par $1$ .

$3 (x (6 - 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x \cdot 6 + x (- 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x \cdot 6) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$3 (6 \cdot x) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Étape 4.3.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$18 x + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Étape 4.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Étape 4.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x^{1})) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Étape 4.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$18 x + 3 (- 10 x^{1 + 1}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Étape 4.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$18 x + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Étape 4.3.7

Multipliez $- 10$ par $3$ .

$18 x - 30 x^{2} + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Étape 4.3.8

Multipliez $6$ par $3$ .

$18 x - 30 x^{2} + 18 x + 3 (- 5 x^{2})$

Étape 4.3.9

Additionnez $18 x$ et $18 x$ .

$- 30 x^{2} + 36 x + 3 (- 5 x^{2})$

Étape 4.3.10

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$- 30 x^{2} + 36 x - 15 x^{2}$

Étape 4.3.11

Soustrayez $15 x^{2}$ de $- 30 x^{2}$ .

$- 45 x^{2} + 36 x$