Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x}}{x^{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $e^{x} x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 5.3.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

Étape 5.3.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Étape 5.3.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x - 3 e^{x}$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 3 e^{x}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{6}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} e^{x} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$