Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$ comme ${(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = \frac{8}{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{8}{x}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Étape 8

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Associez $8$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 9.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- x^{- 2})$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Associez $\frac{8}{3}$ et $x^{- 2}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8 x^{- 2}}{3})$

Étape 11.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

${(\frac{x}{8})}^{\frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Étape 12.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{8}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Étape 12.3

Associez des termes.

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Étape 12.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Étape 12.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Étape 12.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Étape 12.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{2}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Étape 12.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Étape 12.3.5

Multipliez $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}$ par $\frac{8}{3 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{4 (3 x^{2})}$

Étape 12.3.6

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{12 x^{2}}$

Étape 12.3.7

Déplacez $8$ à gauche de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{12 x^{2}}$

Étape 12.3.8

Placez $x^{\frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{8}{12 x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}$

Étape 12.3.9

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.3.9.1

Déplacez $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8}{12 (x^{- \frac{2}{3}} x^{2})}$

Étape 12.3.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2}}$

Étape 12.3.9.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

Étape 12.3.9.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Étape 12.3.9.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

Étape 12.3.9.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.9.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

Étape 12.3.9.6.2

Additionnez $- 2$ et $6$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 12.3.10

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{4 (2)}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 12.3.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.11.1

Factorisez $4$ à partir de $12 x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 (2)}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 12.3.11.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \cdot 2}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 12.3.11.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$