Calcul infinitésimal Exemples

$t \sqrt{4 - t}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - t}$ comme ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(4 - t)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = 4 - t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - t$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - t$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8.3

Placez ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ et $t$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 10

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 14.2

Associez $\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ et $- 1$ .

$\frac{t \cdot - 1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 14.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $t$ .

$\frac{- 1 \cdot t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 14.3.2

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{- t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 14.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 16

Multipliez ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 17

Pour écrire ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18

Associez ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Multipliez ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 20.1

Déplacez ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- t + {(4 - t)}^{1} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Simplifiez ${(4 - t)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- t + (4 - t) \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Déplacez $2$ à gauche de $4 - t$ .

$\frac{- t + 2 \cdot (4 - t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23

Simplifiez

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Étape 23.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- t + 2 \cdot 4 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{- t + 8 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- t + 8 - 2 t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.2

Soustrayez $2 t$ de $- t$ .

$\frac{- 3 t + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 t$ .

$\frac{- (3 t) + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.4

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (3 t) - 1 (- 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 t) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.6

Réécrivez $- (3 t - 8)$ comme $- 1 (3 t - 8)$ .

$\frac{- 1 (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 t - 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$