Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\tan (x))$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Pour tout $y = \tan (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = \frac{π}{2} + n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = \ln (\tan (x))$ . Définissez l’intérieur de la fonction tangente, $b x + c$ , pour $y = a \tan (b x + c) + d$ égal à $- \frac{π}{2}$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se produit pour $y = \ln (\tan (x))$ .

$\tan (x) = - \frac{π}{2}$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{π}{2})$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.1

Évaluez $\arctan (- \frac{π}{2})$ .

$x = - 1.00388482$

Étape 1.2.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - 1.00388482 - (3.14159265)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 1.2.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.00388482 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.00388482 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 1.2.4.2

L’angle résultant de $2.13770783$ est positif et coterminal avec $- 1.00388482 - (3.14159265)$ .

$x = 2.13770783$

Étape 1.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 1.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 1.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 1.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 1.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 1.2.6.1

Ajoutez $π$ à $- 1.00388482$ pour déterminer l’angle positif.

$- 1.00388482 + π$

Étape 1.2.6.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 1.00388482$

Étape 1.2.6.3

Soustrayez $1.00388482$ de $3.14159265$ .

$2.13770783$

Étape 1.2.6.4

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 2.13770783$

Étape 1.2.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.13770783 + π n, 2.13770783 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.8

Consolidez $2.13770783 + π n$ et $2.13770783 + π n$ en $2.13770783 + π n$ .

$x = 2.13770783 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Définissez l’intérieur de la fonction tangente $\tan (x)$ égal à $\frac{π}{2}$ .

$\tan (x) = \frac{π}{2}$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Évaluez $\arctan (\frac{π}{2})$ .

$x = 1.00388482$

Étape 1.4.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Étape 1.4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 1.00388482$

Étape 1.4.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Étape 1.4.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $1.00388482$ .

$x = 4.14547747$

Étape 1.4.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 1.4.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 1.4.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 1.4.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 1.4.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.4.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.00388482 + π n, 4.14547747 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.4.7

Consolidez $1.00388482 + π n$ et $4.14547747 + π n$ en $1.00388482 + π n$ .

$x = 1.00388482 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.5

La période de base pour $y = \ln (\tan (x))$ se produit sur $(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$ , où $2.13770783 + π n$ et $1.00388482 + π n$ sont des asymptotes verticales.

$(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$

Étape 1.6

Déterminez la période $\frac{π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent.

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Étape 1.6.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 1.6.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.7

Les asymptotes verticales pour $y = \ln (\tan (x))$ se produisent sur $2.13770783 + π n$ , $1.00388482 + π n$ et chaque $π n$ , où $n$ est un entier.

$π n$

Étape 1.8

Il n’y a que des asymptotes verticales pour les fonctions tangente et cotangente.

Asymptotes verticales : $x = 2.13770783 + π n + π n$ pour tout entier $n$

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = 2.13770783 + π n + π n$ pour tout entier $n$

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln (\tan (1))$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Évaluez $\tan (1)$ .

$f (1) = \ln (1.55740772)$

Étape 2.2.2

La réponse finale est $\ln (1.55740772)$ .

$\ln (1.55740772)$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 4$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \ln (\tan (4))$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Évaluez $\tan (4)$ .

$f (4) = \ln (1.15782128)$

Étape 3.2.2

La réponse finale est $\ln (1.15782128)$ .

$\ln (1.15782128)$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 7$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f (7) = \ln (\tan (7))$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\tan (7)$ .

$f (7) = \ln (0.87144798)$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $\ln (0.87144798)$ .

$\ln (0.87144798)$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ et les points $(1, 0.44302272), (4, 0.14654003), (7, - 0.1375991)$ .

Asymptote verticale : $x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.443 \\ 4 & 0.147 \\ 7 & - 0.138 \end{array}$

Étape 6