Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - 5 x + 4$ , $y = - {(x - 1)}^{2}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} - 5 x + 4 = - {(x - 1)}^{2}$

Étape 1.2

Résolvez $x^{2} - 5 x + 4 = - {(x - 1)}^{2}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez $- {(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez.

$x^{2} - 5 x + 4 = 0 + 0 - {(x - 1)}^{2}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - ((x - 1) (x - 1))$

Étape 1.2.1.3

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Étape 1.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Étape 1.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.2.1.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.2.1.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.2.1.4.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.2.1.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} - x - x + 1)$

Étape 1.2.1.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 5 x + 4 = - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.1.6

Simplifiez

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Étape 1.2.1.6.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - x^{2} + 2 x - 1$

Étape 1.2.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 5 x + 4 + x^{2} = 2 x - 1$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 5 x + 4 + x^{2} - 2 x = - 1$

Étape 1.2.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 5 x + 4 - 2 x = - 1$

Étape 1.2.2.4

Soustrayez $2 x$ de $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 7 x + 4 = - 1$

Étape 1.2.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 7 x + 4 + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$

Étape 1.2.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 1.2.5.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$

Étape 1.2.5.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 2$ plus $- 5$

$2 x^{2} + (- 2 - 5) x + 5 = 0$

Étape 1.2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x - 5 x + 5 = 0$

Étape 1.2.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 2 x) - 5 x + 5 = 0$

Étape 1.2.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (x - 1) - 5 (x - 1) = 0$

Étape 1.2.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x - 5) = 0$

Étape 1.2.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x - 5 = 0 + y = - {(x - 1)}^{2}$

Étape 1.2.7

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.8

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.8.1

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Étape 1.2.8.2

Résolvez $2 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.8.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 1.2.8.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 1.2.8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 1.2.8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 1.2.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (2 x - 5) = 0$ vraie.

$x = 1, \frac{5}{2}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = - {((1) - 1)}^{2}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = - {((1) - 1)}^{2}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - {(1 - 1)}^{2}$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - {((1) - 1)}^{2}$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez $- {((1) - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = - 0^{2}$

Étape 1.3.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 0$

Étape 1.3.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = \frac{5}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{5}{2}$ .

$y = - {((\frac{5}{2}) - 1)}^{2}$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $\frac{5}{2}$ dans $y = - {((\frac{5}{2}) - 1)}^{2}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - {(\frac{5}{2} - 1)}^{2}$

Étape 1.4.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - {((\frac{5}{2}) - 1)}^{2}$

Étape 1.4.2.3

Simplifiez $- {((\frac{5}{2}) - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.4.2.3.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - {(\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.3.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - {(\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - {(\frac{5 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - {(\frac{5 - 2}{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.3.4.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$y = - {(\frac{3}{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.3.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.4.2.3.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{9}{2^{2}}$

Étape 1.4.2.3.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{9}{4}$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(1, 0)$

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

$(1, 0)$

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Étape 2

Simplifiez $- {(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$y = - ((x - 1) (x - 1))$

Étape 2.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - (x^{2} - x - x + 1)$

Étape 2.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$y = - (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1$

Étape 2.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - x^{2} + 2 x - 1$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{\frac{5}{2}} - x^{2} + 2 x - 1 d x - \int_{1}^{\frac{5}{2}} x^{2} - 5 x + 4 d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $\frac{5}{2}$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{\frac{5}{2}} - x^{2} + 2 x - 1 - (x^{2} - 5 x + 4) d x$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 4$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 4$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} + 5 x - 4$

$\int_{1}^{\frac{5}{2}} - x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} + 5 x - 4 d x$

Étape 4.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x - 1 + 5 x - 4$

Étape 4.3.2

Additionnez $2 x$ et $5 x$ .

$- 2 x^{2} + 7 x - 1 - 4$

Étape 4.3.3

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 7 x - 5$

$\int_{1}^{\frac{5}{2}} - 2 x^{2} + 7 x - 5 d x$

Étape 4.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{\frac{5}{2}} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} 7 x d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Étape 4.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int_{1}^{\frac{5}{2}} x^{2} d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} 7 x d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Étape 4.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + \int_{1}^{\frac{5}{2}} 7 x d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Étape 4.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + \int_{1}^{\frac{5}{2}} 7 x d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Étape 4.8

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + 7 \int_{1}^{\frac{5}{2}} x d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Étape 4.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Étape 4.11

Appliquez la règle de la constante.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + - 5 x]_{1}^{\frac{5}{2}}$

Étape 4.12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.12.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $\frac{5}{2}$ et sur $1$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + - 5 x]_{1}^{\frac{5}{2}}$

Étape 4.12.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $\frac{5}{2}$ et sur $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + - 5 x]_{1}^{\frac{5}{2}}$

Étape 4.12.3

Évaluez $- 5 x$ sur $\frac{5}{2}$ et sur $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 (\frac{5}{2})) + 5 \cdot 1$

Étape 4.12.4

Simplifiez

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Étape 4.12.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 (\frac{5}{2})) + 5 \cdot 1$

Étape 4.12.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + (- 5 (\frac{5}{2})) + 5 \cdot 1$

Étape 4.12.4.3

Associez $- 5$ et $\frac{5}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 5 \cdot 1$

Étape 4.12.4.4

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 25}{2} + 5 \cdot 1$

Étape 4.12.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{25}{2} + 5 \cdot 1$

Étape 4.12.4.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{25}{2} + 5$

Étape 4.12.4.7

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{25}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.12.4.8

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{25}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Étape 4.12.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 25 + 5 \cdot 2}{2}$

Étape 4.12.4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.4.10.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 25 + 10}{2}$

Étape 4.12.4.10.2

Additionnez $- 25$ et $10$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 15}{2}$

Étape 4.12.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{15}{2}$

Étape 4.12.4.12

Pour écrire $- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Étape 4.12.4.13

Associez $- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Étape 4.12.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 2 - 15}{2}$

Étape 4.12.4.15

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.12.4.16

Pour écrire $7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.12.4.17

Associez $7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{- 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.12.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2 - 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.12.4.19

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{14 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13

Simplifiez

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Étape 4.13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.13.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$\frac{14 (\frac{\frac{5^{2}}{2^{2}}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{14 (\frac{\frac{25}{2^{2}}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{14 (\frac{\frac{25}{4}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.13.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$\frac{14 (\frac{\frac{25}{4}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{\frac{5^{3}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.2.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{14 (\frac{\frac{25}{4}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{\frac{125}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{14 (\frac{\frac{25}{4}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.13.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 \frac{\frac{25}{4} - 1}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{14 \frac{\frac{25}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{14 \frac{\frac{25}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 \frac{\frac{25 - 1 \cdot 4}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.13.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{14 \frac{\frac{25 - 4}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.5.2

Soustrayez $4$ de $25$ .

$\frac{14 \frac{\frac{21}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.13.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\frac{2 (7) \frac{\frac{21}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 7 \frac{\frac{21}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 (\frac{21}{4}) - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.7

Associez $7$ et $\frac{21}{4}$ .

$\frac{\frac{7 \cdot 21}{4} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.8

Multipliez $7$ par $21$ .

$\frac{\frac{147}{4} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{125}{8} - 1}{3} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{125}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}}{3} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.11

Associez $- 1$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{125}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}}{3} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{125 - 1 \cdot 8}{8}}{3} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.13.3.13.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{125 - 8}{8}}{3} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.13.2

Soustrayez $8$ de $125$ .

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{117}{8}}{3} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.14

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{147}{4} - 4 (\frac{117}{8} \cdot \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.15

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.13.3.15.1

Factorisez $3$ à partir de $117$ .

$\frac{\frac{147}{4} - 4 (\frac{3 (39)}{8} \cdot \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{147}{4} - 4 (\frac{3 \cdot 39}{8} \cdot \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{147}{4} - 4 (\frac{39}{8}) - 15}{2}$

Étape 4.13.3.16

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.13.3.16.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{\frac{147}{4} + 4 (- 1) \frac{39}{8} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.16.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\frac{147}{4} + 4 \cdot - 1 \frac{39}{4 \cdot 2} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.16.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{147}{4} + 4 \cdot - 1 \frac{39}{4 \cdot 2} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.16.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{147}{4} - \frac{39}{2} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.17

Pour écrire $- \frac{39}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{147}{4} - \frac{39}{2} \cdot \frac{2}{2} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.18

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.13.3.18.1

Multipliez $\frac{39}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{147}{4} - \frac{39 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.18.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{147}{4} - \frac{39 \cdot 2}{4} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{147 - 39 \cdot 2}{4} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.13.3.20.1

Multipliez $- 39$ par $2$ .

$\frac{\frac{147 - 78}{4} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.20.2

Soustrayez $78$ de $147$ .

$\frac{\frac{69}{4} - 15}{2}$

Étape 4.13.3.21

Pour écrire $- 15$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{69}{4} - 15 \cdot \frac{4}{4}}{2}$

Étape 4.13.3.22

Associez $- 15$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{69}{4} + \frac{- 15 \cdot 4}{4}}{2}$

Étape 4.13.3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{69 - 15 \cdot 4}{4}}{2}$

Étape 4.13.3.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.13.3.24.1

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$\frac{\frac{69 - 60}{4}}{2}$

Étape 4.13.3.24.2

Soustrayez $60$ de $69$ .

$\frac{\frac{9}{4}}{2}$

Étape 4.13.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.13.5

Multipliez $\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.13.5.1

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{4 \cdot 2}$

Étape 4.13.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{9}{8}$

Étape 5