Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2} + 6$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez $\frac{1}{2} x^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Étape 1.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Étape 1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} = - x^{2} + 6$

Étape 1.2.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} = 6$

Étape 1.2.2.2

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} \cdot \frac{2}{2} = 6$

Étape 1.2.2.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Étape 1.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Étape 1.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x^{2}}{2} = 6$

Étape 1.2.2.5.2

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Étape 1.2.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.4.1.1.1

Associez.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.4.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.4.1.1.3.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} = 4$

Étape 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 1.2.6

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 1.2.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 1.2.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 1.2.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 1.2.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 2$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$y = - {(2)}^{2} + 6$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans $y = - {(2)}^{2} + 6$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 2^{2} + 6$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $- 2^{2} + 6$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = - 1 \cdot 4 + 6$

Étape 1.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = - 4 + 6$

Étape 1.3.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$y = 2$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

Étape 2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2}$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 - (\frac{x^{2}}{2}) d x$

Étape 4.2

Pour écrire $- x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6 d x$

Étape 4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.1

Associez $- x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6$

Étape 4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6 d x$

Étape 4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Étape 4.4.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) - x^{2}}{2} + 6$

Étape 4.4.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + 6$

Étape 4.4.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2 - 1)}{2} + 6$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} (- 2 - 1)}{2} + 6$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{2} + 6$

Étape 4.4.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} + 6$

Étape 4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 d x$

Étape 4.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Étape 4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- 2}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Étape 4.7

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{3}{2} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Étape 4.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Étape 4.9

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 6 x]_{- 2}^{2}$

Étape 4.10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.10.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $2$ et sur $- 2$ .

$- \frac{3}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{2}$

Étape 4.10.2

Évaluez $6 x$ sur $2$ et sur $- 2$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3

Simplifiez

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Étape 4.10.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.4

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.5

Associez $8$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.7

Additionnez $8$ et $8$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.8

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.9

Multipliez $16$ par $3$ .

$- \frac{48}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{48}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.11

Annulez le facteur commun à $48$ et $6$ .

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Étape 4.10.3.11.1

Factorisez $6$ à partir de $48$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.3.11.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6 (1)} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{8}{1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.11.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.12

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.13

Multipliez $6$ par $2$ .

$- 8 + 12 - 6 \cdot - 2$

Étape 4.10.3.14

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$- 8 + 12 + 12$

Étape 4.10.3.15

Additionnez $12$ et $12$ .

$- 8 + 24$

Étape 4.10.3.16

Additionnez $- 8$ et $24$ .

$16$

Étape 5