Calcul infinitésimal Exemples

$y = x$ , $y = \sqrt[4]{x}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x = \sqrt[4]{x}$

Étape 1.2

Résolvez $x = \sqrt[4]{x}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt[4]{x} = x$

Étape 1.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $4$ .

${\sqrt[4]{x}}^{4} = x^{4}$

Étape 1.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = x^{4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Simplifiez

$x = x^{4}$

Étape 1.2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Soustrayez $x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x - x^{4} = 0$

Étape 1.2.4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x - x^{4}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Étape 1.2.4.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Étape 1.2.4.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Étape 1.2.4.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Étape 1.2.4.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Étape 1.2.4.2.4

Factorisez.

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Étape 1.2.4.2.4.1

Simplifiez

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Étape 1.2.4.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Étape 1.2.4.2.4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Étape 1.2.4.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0 + y = \sqrt[4]{x}$

Étape 1.2.4.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.4.5

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.5.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 1.2.4.5.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 1.2.4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.4.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.4.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.5.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 1.2.4.6

Définissez $1 + x + x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.6.1

Définissez $1 + x + x^{2}$ égal à $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.6.2

Résolvez $1 + x + x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = \sqrt[4]{x}$

Étape 1.2.4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1} + y = \sqrt[4]{x}$

Étape 1.2.4.6.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.6.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.4.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.4.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.6.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.4.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.4.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.6.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.4.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = \sqrt[4]{0}$

Étape 1.3.2

Simplifiez $\sqrt[4]{0}$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt[4]{0}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$y = \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 1.3.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = \sqrt[4]{1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez $\sqrt[4]{1}$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt[4]{1}$

Étape 1.4.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.5.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.6

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.6.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.6.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.7

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2

La surface entre les courbes données n’est pas délimitée.

Aire non délimitée

Étape 3