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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 1.1.2.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.2.2
Placez la limite sous le radical.
Étape 1.1.2.3
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 1.1.2.4
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 1.1.2.4.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.2.4.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.2.5
Simplifiez la réponse.
Étape 1.1.2.5.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.1.2.5.1.1
Toute racine de est .
Étape 1.1.2.5.1.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.1.2.5.1.3
Multipliez par .
Étape 1.1.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 1.1.3.1
Évaluez la limite.
Étape 1.1.3.1.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.3.1.2
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.1.3.1.3
Placez la limite sous le radical.
Étape 1.1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.3.3
Simplifiez la réponse.
Étape 1.1.3.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.1.3.3.1.1
Toute racine de est .
Étape 1.1.3.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.1.3.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.3.3.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 1.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 1.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 1.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.3
Évaluez .
Étape 1.3.3.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.3.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.3.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3.3.4
Associez et .
Étape 1.3.3.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.3.3.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.3.3.6.1
Multipliez par .
Étape 1.3.3.6.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.3.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.4
Évaluez .
Étape 1.3.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.4.3
Multipliez par .
Étape 1.3.5
Simplifiez
Étape 1.3.5.1
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.3.5.2
Multipliez par .
Étape 1.3.5.3
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 1.3.6
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.7
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.8
Évaluez .
Étape 1.3.8.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.3.8.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.8.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.8.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3.8.5
Associez et .
Étape 1.3.8.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.3.8.7
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.3.8.7.1
Multipliez par .
Étape 1.3.8.7.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.8.8
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.8.9
Associez et .
Étape 1.3.8.10
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.3.9
Soustrayez de .
Étape 1.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 1.5
Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.
Étape 1.5.1
Réécrivez comme .
Étape 1.5.2
Réécrivez comme .
Étape 1.6
Multipliez par .
Étape 1.7
Associez des termes.
Étape 1.7.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.7.2
Associez et .
Étape 1.7.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2
Étape 2.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.2
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.3
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.4
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.5
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.6
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.7
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.8
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.9
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.10
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.11
Placez la limite sous le radical.
Étape 3
Étape 3.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.3
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.4
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4
Étape 4.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.2
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.2.1
Multipliez .
Étape 4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 4.2.1.3
Multipliez par .
Étape 4.2.2
Toute racine de est .
Étape 4.2.3
Multipliez par .
Étape 4.2.4
Additionnez et .
Étape 4.3
Toute racine de est .
Étape 4.4
Divisez par .
Étape 4.5
Multipliez par .
Étape 4.6
Toute racine de est .
Étape 4.7
Multipliez par .