Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{x - 1}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{x - 1}$

Étape 1.2

Associez $- 1$ et $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{x - 1}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{x - 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{1 - x}{x}$ par $\frac{1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x (x - 1)}$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun à $1 - x$ et $x - 1$ .

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1) - x}{x (x - 1)}$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1) - (x)}{x (x - 1)}$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1 + x)}{x (x - 1)}$

Étape 2.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (x - 1)}{x (x - 1)}$

Étape 2.1.3.5

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (x - 1)}{x (x - 1)}$

Étape 2.1.3.6

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $- 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 1}{1}$

Étape 4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$