Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $\sqrt{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + x}$ comme ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 + x$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.11

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.13

Multipliez $\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.14

Placez ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Comme $- \sqrt{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sqrt{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Réécrivez ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}} \cdot 1$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x}}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x}}$

Étape 2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + x}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + 0}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 4.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$0.35355339 \dots$