Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x^{2} - x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - x}$

Étape 1.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{2} - lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{2} + 0}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 + 0}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x^{2} - x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]}$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 x + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 x - \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 x - 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 x - 1}$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 x - 1}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (0)}{4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (0)}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Étape 4.3

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 1$