Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{9 x - x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 9 x - lim_{x \to 9} x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{9 lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} x^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{9 lim_{x \to 9} x - {(lim_{x \to 9} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 \cdot 9 - {(lim_{x \to 9} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 \cdot 9 - 9^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.5.1.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{0}{81 - 9^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{81 - 1 \cdot 81}$

Étape 1.1.3.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$\frac{0}{81 - 81}$

Étape 1.1.3.5.2

Soustrayez $81$ de $81$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{9 x - x^{2}} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 - (2 x)}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 - 2 x}$

Étape 1.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x + 9}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 9}$

Étape 1.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 9}$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{1}{- 2 x + 9}$ par $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{(- 2 x + 9) (2 \sqrt{x})}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 9} \frac{1}{(- 2 x + 9) (2 \sqrt{x})}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{1}{(- 2 x + 9) (\sqrt{x})}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} (- 2 x + 9) (\sqrt{x})}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9} (- 2 x + 9) (\sqrt{x})}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9} - 2 x + 9 \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- lim_{x \to 9} 2 x + lim_{x \to 9} 9) \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Étape 2.7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 9) \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 9} x + 9) \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Étape 2.9

Placez la limite sous le radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 9} x + 9) \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 \cdot 9 + 9) \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 \cdot 9 + 9) \cdot \sqrt{9}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 18 + 9) \sqrt{9}}$

Étape 4.1.2

Additionnez $- 18$ et $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 9 \sqrt{9}}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 9 \sqrt{3^{2}}}$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 9 \cdot 3}$

Étape 4.2

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 27}$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{27})$

Étape 4.4

Multipliez $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{27})$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{27}$

Étape 4.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27}$

Étape 4.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 27}$

Étape 4.4.4

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{1}{54}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{54}$

Forme décimale :

$0.0\overline{185}$