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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Étape 2.1
Différenciez.
Étape 2.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2
Évaluez .
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.3
Multipliez par .
Étape 3
Étape 3.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2
Évaluez .
Étape 3.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.2.3
Multipliez par .
Étape 3.3
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Étape 3.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.2
Additionnez et .
Étape 4
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 5
Étape 5.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 5.1.1
Différenciez.
Étape 5.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.1.2
Évaluez .
Étape 5.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.1.2.3
Multipliez par .
Étape 5.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 6
Étape 6.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 6.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 6.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 6.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 6.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 6.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 6.3.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.3.3.1
Divisez par .
Étape 6.4
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 6.5
Simplifiez .
Étape 6.5.1
Réécrivez comme .
Étape 6.5.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 6.6
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 6.6.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 6.6.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 6.6.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 7
Étape 7.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 8
Points critiques à évaluer.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 10
Multipliez par .
Étape 11
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 12
Étape 12.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 12.2
Simplifiez le résultat.
Étape 12.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 12.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 12.2.1.2
Multipliez par .
Étape 12.2.2
Soustrayez de .
Étape 12.2.3
La réponse finale est .
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 14
Multipliez par .
Étape 15
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 16
Étape 16.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 16.2
Simplifiez le résultat.
Étape 16.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 16.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 16.2.1.2
Multipliez par .
Étape 16.2.2
Additionnez et .
Étape 16.2.3
La réponse finale est .
Étape 17
Ce sont les extrema locaux pour .
est un minimum local
est un maximum local
Étape 18