Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \sqrt{x + 5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 5}$ comme ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 5$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 7.3

Placez ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 7.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ et $3$ .

$\frac{3}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{3}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{3}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{3}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{3}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$