Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x e^{- x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Étape 1.9

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Étape 1.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 (e^{- x^{2}} (x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4.2.3

Déplacez $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 x e^{- x^{2}} - 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.2.4

Soustrayez $2 x e^{- x^{2}}$ de $- 4 x e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.7.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Étape 4.1.9

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Étape 4.1.10

Simplifiez

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Étape 4.1.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Étape 4.1.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $e^{- x^{2}}$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $e^{- x^{2}}$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} = 0$

Étape 5.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $e^{- x^{2}}$ à partir de $e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{- x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

Définissez $- 2 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $- 2 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $- 2 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = - 1$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.2.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.1.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.2.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{4 (2)} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{4 \cdot 2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.5.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.9

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.11

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.12.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 (- 3) \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 9.1.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.14

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 9.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 9.1.15

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}}$

Étape 9.1.16

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.1.16.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 9.1.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 9.1.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 9.1.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.17

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.18

Multipliez $- 3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 9.1.18.1

Associez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $- 3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{2}$

Étape 9.1.18.2

Associez $\frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez les termes.

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Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 11.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{4}}$

Étape 11.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 11.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 11.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 11.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 11.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 11.2.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.6

Associez.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.7

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.8

La réponse finale est $\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$4 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.3.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 13.1.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.3.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \sqrt{2}}{8}$ dans le numérateur.

$4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 (2)} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 \cdot 2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 13.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{2}}{1} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.6.2.4

Divisez $- \sqrt{2}$ par $1$ .

$- \sqrt{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.8

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.8.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.8.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 13.1.8.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.8.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.12

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 13.1.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.13

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.14

Associez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.15.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.15.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 (- 3) \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.15.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot - 3 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.15.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \sqrt{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.16

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 13.1.17

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.17.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Étape 13.1.17.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 13.1.18

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.18.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.18.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 13.1.18.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.18.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.18.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.19

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.20

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.1.20.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.20.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.20.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.20.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.20.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.20.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 13.1.20.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 13.1.21

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}}$

Étape 13.1.22

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 13.1.22.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 13.1.22.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.22.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 13.1.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 13.1.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 13.1.23

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.1.24

Multipliez $3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 13.1.24.1

Associez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $3$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{2}$

Étape 13.1.24.2

Associez $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2

Simplifiez les termes.

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Étape 13.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2.2

Additionnez $- \sqrt{2}$ et $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Étape 15.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 15.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 15.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 15.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 15.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 15.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 15.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 15.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{4}}$

Étape 15.2.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 15.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 15.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 15.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 15.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 15.2.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.2.8

Multipliez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 15.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.2.10

La réponse finale est $- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x e^{- x^{2}}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}})$ est un maximum local

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}})$ est un minimum local

Étape 17