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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Évaluez .
Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.3
Évaluez .
Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.3
Multipliez par .
Étape 2
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.3
Multipliez par .
Étape 2.3
Évaluez .
Étape 2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.3
Multipliez par .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 4.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Évaluez .
Étape 4.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.1.3
Évaluez .
Étape 4.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.1.3.3
Multipliez par .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Étape 5.2.1
Réécrivez comme .
Étape 5.2.2
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.4
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.4
Définissez égal à et résolvez .
Étape 5.4.1
Définissez égal à .
Étape 5.4.2
Résolvez pour .
Étape 5.4.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 5.4.2.2
Simplifiez .
Étape 5.4.2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 5.4.2.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 5.4.2.2.3
Plus ou moins est .
Étape 5.5
Définissez égal à et résolvez .
Étape 5.5.1
Définissez égal à .
Étape 5.5.2
Résolvez pour .
Étape 5.5.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 5.5.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 5.5.2.3
Toute racine de est .
Étape 5.5.2.4
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 5.5.2.4.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 5.5.2.4.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 5.5.2.4.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 5.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6
Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Étape 9.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 9.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.1.3
Multipliez par .
Étape 9.2
Additionnez et .
Étape 10
Étape 10.1
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 10.2
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Étape 10.2.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.2.2
Simplifiez le résultat.
Étape 10.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 10.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 10.2.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 10.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 10.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 10.2.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.3
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Étape 10.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.3.2
Simplifiez le résultat.
Étape 10.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 10.3.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 10.3.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 10.3.2.1.4
Multipliez par .
Étape 10.3.2.2
Soustrayez de .
Étape 10.3.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.4
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Étape 10.4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.4.2
Simplifiez le résultat.
Étape 10.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 10.4.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 10.4.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 10.4.2.1.4
Multipliez par .
Étape 10.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 10.4.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.5
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Étape 10.5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.5.2
Simplifiez le résultat.
Étape 10.5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 10.5.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 10.5.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 10.5.2.1.4
Multipliez par .
Étape 10.5.2.2
Soustrayez de .
Étape 10.5.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.6
Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de , est un maximum local.
est un maximum local
Étape 10.7
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 10.8
Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de , est un minimum local.
est un minimum local
Étape 10.9
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
est un maximum local
est un minimum local
Étape 11