Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} - 6 x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $12 x - 6$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x^{2} - 6 x - 12 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \cdot 1$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 6 x - 12$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 6 x - 12 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 6 x - 12$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 6 x - 12 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- x) - 12 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- x) + 6 (- 2) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2}) + 6 (- x)$ .

$6 (x^{2} - x) + 6 (- 2) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} - x) + 6 (- 2)$ .

$6 (x^{2} - x - 2) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2, - 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (2) - 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$24 - 6$

Étape 9.2

Soustrayez $6$ de $24$ .

$18$

Étape 10

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ .

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Étape 11.2.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Étape 11.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Étape 11.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (2) = 2^{4} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Étape 11.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = 16 - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Étape 11.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 16 - 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f (2) = 16 - 12 - 12 \cdot 2$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$f (2) = 16 - 12 - 24$

Étape 11.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $12$ de $16$ .

$f (2) = 4 - 24$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $24$ de $4$ .

$f (2) = - 20$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 20$ .

$y = - 20$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (- 1) - 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$- 12 - 6$

Étape 13.2

Soustrayez $6$ de $- 12$ .

$- 18$

Étape 14

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = 2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 - 3 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1$

Étape 15.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = - 2 - 3 \cdot 1 - 12 \cdot - 1$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 3 - 12 \cdot - 1$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 - 3 + 12$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.2.1

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f (- 1) = - 5 + 12$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 5$ et $12$ .

$f (- 1) = 7$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $7$ .

$y = 7$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ .

$(2, - 20)$ est un minimum local

$(- 1, 7)$ est un maximum local

Étape 17