Calcul infinitésimal Exemples

$x y + x + y = x^{2} y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y + x + y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y + 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y + 1 + y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + y + 1 + y' = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 x^{2} y y'$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + y + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $x y' + y' - 2 x^{2} y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Étape 5.3.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 x^{2} y y'$ .

$y' (x) + y' \cdot 1 + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Étape 5.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Étape 5.3.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y)$ .

$y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ par $x + 1 - 2 x^{2} y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ par $x + 1 - 2 x^{2} y$ .

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1 - 2 x^{2} y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Étape 5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Étape 5.4.3.2

Associez en une fraction.

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Étape 5.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Étape 5.4.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$