Calcul infinitésimal Exemples

${(2 x + 2 y)}^{3} = 8 x^{3} + 8 y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(2 x + 2 y)}^{3}) = \frac{d}{d x} (8 x^{3} + 8 y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 2 x + 2 y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 2 y$ .

$3 {(2 x + 2 y)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$3 {(2 x + 2 y)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(2 x + 2 y)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(2 x + 2 y)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 {(2 x + 2 y)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 2.2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(2 x + 2 y)}^{2} (2 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 {(2 x + 2 y)}^{2} (2 + 2 y')$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 {(2 x + 2 y)}^{2} \cdot 2 + 3 {(2 x + 2 y)}^{2} (2 y')$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 {(2 x + 2 y)}^{2} + 3 {(2 x + 2 y)}^{2} (2 y')$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 {(2 x + 2 y)}^{2} + 6 {(2 x + 2 y)}^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} + 8 y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 y^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$24 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$24 x^{2} + 8 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x^{2} + 8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$24 x^{2} + 8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$24 x^{2} + 8 (3 y^{2} y')$

Étape 3.3.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 x^{2} + 24 y^{2} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 {(2 x + 2 y)}^{2} + 6 {(2 x + 2 y)}^{2} y' = 24 x^{2} + 24 y^{2} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 {(2 x + 2 y)}^{2} + 6 {(2 x + 2 y)}^{2} y'$ .

$6 {(2 x + 2 y)}^{2} + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} = 24 x^{2} + 24 y^{2} y'$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $24 y^{2} y'$ des deux côtés de l’équation.

$6 {(2 x + 2 y)}^{2} + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez ${(2 x + 2 y)}^{2}$ comme $(2 x + 2 y) (2 x + 2 y)$ .

$6 ((2 x + 2 y) (2 x + 2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.2

Développez $(2 x + 2 y) (2 x + 2 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (2 x (2 x + 2 y) + 2 y (2 x + 2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 (2 x (2 x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x + 2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 (2 x (2 x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$6 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$6 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 (4 x^{2} + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 (4 x^{2} + 2 \cdot 2 x y + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 (4 x^{2} + 4 x y + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 (4 x^{2} + 4 x y + 2 \cdot 2 y x + 2 y (2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 y (2 y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 y \cdot y) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.9

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.3.1.9.1

Déplacez $y$ .

$6 (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 (y \cdot y)) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.9.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$6 (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 y^{2}) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 4 y^{2}) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.2

Additionnez $4 x y$ et $4 y x$ .

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Étape 5.2.2.3.2.1

Déplacez $y$ .

$6 (4 x^{2} + 4 x y + 4 x y + 4 y^{2}) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.2.2

Additionnez $4 x y$ et $4 x y$ .

$6 (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2}) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$6 (4 x^{2}) + 6 (8 x y) + 6 (4 y^{2}) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.5

Simplifiez

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Étape 5.2.2.5.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{2} + 6 (8 x y) + 6 (4 y^{2}) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.2

Multipliez $8$ par $6$ .

$24 x^{2} + 48 (x y) + 6 (4 y^{2}) + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{2} + 48 (x y) + 24 y^{2} + 6 y' {(2 x + 2 y)}^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.6

Réécrivez ${(2 x + 2 y)}^{2}$ comme $(2 x + 2 y) (2 x + 2 y)$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' ((2 x + 2 y) (2 x + 2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.7

Développez $(2 x + 2 y) (2 x + 2 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (2 x (2 x + 2 y) + 2 y (2 x + 2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (2 x (2 x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x + 2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (2 x (2 x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.8.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.8.1.2.1

Déplacez $x$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2} + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2} + 2 \cdot 2 x y + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2} + 4 x y + 2 y (2 x) + 2 y (2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2} + 4 x y + 2 \cdot 2 y x + 2 y (2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 y (2 y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 y \cdot y) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.9

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.8.1.9.1

Déplacez $y$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 (y \cdot y)) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.9.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 y^{2}) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 4 y^{2}) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.2

Additionnez $4 x y$ et $4 y x$ .

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Étape 5.2.2.8.2.1

Déplacez $y$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2} + 4 x y + 4 x y + 4 y^{2}) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.2.2

Additionnez $4 x y$ et $4 x y$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2}) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.9

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 y' (4 x^{2}) + 6 y' (8 x y) + 6 y' (4 y^{2}) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.10

Simplifiez

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Étape 5.2.2.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 \cdot 4 y' x^{2} + 6 y' (8 x y) + 6 y' (4 y^{2}) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.10.2

Multipliez $8$ par $6$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 \cdot 4 y' x^{2} + 48 y' (x y) + 6 y' (4 y^{2}) - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.10.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 6 \cdot 4 y' x^{2} + 48 y' (x y) + 6 \cdot 4 y' y^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.11.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 24 y' x^{2} + 48 y' (x y) + 6 \cdot 4 y' y^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.2.11.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 24 y' x^{2} + 48 y' x y + 24 y' y^{2} - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 24 y' x^{2} + 48 y' x y + 24 y' y^{2} - 24 y^{2} y'$ .

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Étape 5.2.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $24 y' y^{2}$ et $- 24 y^{2} y'$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 24 y' x^{2} + 48 y' x y + 24 y^{2} y' - 24 y^{2} y' = 24 x^{2}$

Étape 5.2.3.2

Soustrayez $24 y^{2} y'$ de $24 y^{2} y'$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 24 y' x^{2} + 48 y' x y + 0 = 24 x^{2}$

Étape 5.2.3.3

Additionnez $24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 24 y' x^{2} + 48 y' x y$ et $0$ .

$24 x^{2} + 48 x y + 24 y^{2} + 24 y' x^{2} + 48 y' x y = 24 x^{2}$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $24 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$48 x y + 24 y^{2} + 24 y' x^{2} + 48 y' x y = 24 x^{2} - 24 x^{2}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $48 x y$ des deux côtés de l’équation.

$24 y^{2} + 24 y' x^{2} + 48 y' x y = 24 x^{2} - 24 x^{2} - 48 x y$

Étape 5.3.3

Soustrayez $24 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$24 y' x^{2} + 48 y' x y = 24 x^{2} - 24 x^{2} - 48 x y - 24 y^{2}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $24 x^{2}$ de $24 x^{2}$ .

$24 y' x^{2} + 48 y' x y = 0 - 48 x y - 24 y^{2}$

Étape 5.3.5

Soustrayez $48 x y$ de $0$ .

$24 y' x^{2} + 48 y' x y = - 48 x y - 24 y^{2}$

Étape 5.4

Factorisez $24 y' x$ à partir de $24 y' x^{2} + 48 y' x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Factorisez $24 y' x$ à partir de $24 y' x^{2}$ .

$24 y' x \cdot x + 48 y' x y = - 48 x y - 24 y^{2}$

Étape 5.4.2

Factorisez $24 y' x$ à partir de $48 y' x y$ .

$24 y' x \cdot x + 24 y' x (2 y) = - 48 x y - 24 y^{2}$

Étape 5.4.3

Factorisez $24 y' x$ à partir de $24 y' x \cdot x + 24 y' x (2 y)$ .

$24 y' x (x + 2 y) = - 48 x y - 24 y^{2}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $24 y' x (x + 2 y) = - 48 x y - 24 y^{2}$ par $24 x (x + 2 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $24 y' x (x + 2 y) = - 48 x y - 24 y^{2}$ par $24 x (x + 2 y)$ .

$\frac{24 y' x (x + 2 y)}{24 x (x + 2 y)} = \frac{- 48 x y}{24 x (x + 2 y)} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 y' x (x + 2 y)}{24 x (x + 2 y)} = \frac{- 48 x y}{24 x (x + 2 y)} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 48 x y}{24 x (x + 2 y)} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 48 x y}{24 x (x + 2 y)} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 48 x y}{24 x (x + 2 y)} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $x + 2 y$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 48 x y}{24 x (x + 2 y)} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 48 x y}{24 x (x + 2 y)} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 48$ et $24$ .

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Étape 5.5.3.1.1.1

Factorisez $24$ à partir de $- 48 x y$ .

$y' = \frac{24 (- 2 x y)}{24 x (x + 2 y)} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $24$ à partir de $24 x (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{24 (- 2 x y)}{24 (x (x + 2 y))} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{24 (- 2 x y)}{24 (x (x + 2 y))} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 2 y}{x + 2 y} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- 24 y^{2}}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $24$ .

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Étape 5.5.3.1.4.1

Factorisez $24$ à partir de $- 24 y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{24 (- y^{2})}{24 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.4.2.1

Factorisez $24$ à partir de $24 x (x + 2 y)$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{24 (- y^{2})}{24 (x (x + 2 y))}$

Étape 5.5.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{24 (- y^{2})}{24 (x (x + 2 y))}$

Étape 5.5.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.2

Pour écrire $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2 y) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{2 y}{x + 2 y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 y x - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y x - y^{2}$ .

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Étape 5.5.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) + y (- y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 2 x) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y (- 2 x - y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - (y))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{y (- (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.9.1

Réécrivez $- (2 x + y)$ comme $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$