Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(i - 1)}^{2}$ comme $(i - 1) (i - 1)$ .

$(i - 1) (i - 1)$

Étape 1.2

Développez $(i - 1) (i - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $i$ par $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $i$ .

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$i^{2} - i - i + 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $i$ de $- i$ .

$i^{2} - 2 i + 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

Étape 3

Évaluez $\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun à $20$ et $6$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Étape 3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2$ par $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $20$ et $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $10$ par $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Étape 3.3.2.4

Additionnez $40$ et $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $210$ par $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Étape 3.3.3.2

Divisez $8610$ par $3$ .

$2870$

Étape 4

Évaluez $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $20$ et $1$ .

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $20$ par $21$ .

$- 2 (\frac{420}{2})$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 420$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $420$ .

$- 420$

Étape 5

Évaluez $\sum_{i = 1}^{20} 1$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(1) (20)$

Étape 5.3

Multipliez $20$ par $1$ .

$20$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$2870 - 420 + 20$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez $420$ de $2870$ .

$2450 + 20$

Étape 7.2

Additionnez $2450$ et $20$ .

$2470$