Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer à l'aide de la règle de l'Hôpital limite lorsque x approche de 0 de (1-2x)^(1/x)
Étape 1
Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.
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Étape 1.1
Réécrivez comme .
Étape 1.2
Développez en déplaçant hors du logarithme.
Étape 2
Évaluez la limite.
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Étape 2.1
Placez la limite dans l’exposant.
Étape 2.2
Associez et .
Étape 3
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
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Étape 3.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
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Étape 3.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 3.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
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Étape 3.1.2.1
Évaluez la limite.
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Étape 3.1.2.1.1
Placez la limite à l’intérieur du logarithme.
Étape 3.1.2.1.2
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 3.1.2.1.3
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 3.1.2.1.4
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 3.1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.1.2.3
Simplifiez la réponse.
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Étape 3.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 3.1.2.3.2
Additionnez et .
Étape 3.1.2.3.3
Le logarithme naturel de est .
Étape 3.1.3
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 3.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 3.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
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Étape 3.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 3.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
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Étape 3.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.3.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.3.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.5
Additionnez et .
Étape 3.3.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.7
Associez et .
Étape 3.3.8
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.3.9
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.3.10
Multipliez par .
Étape 3.3.11
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 3.5
Multipliez par .
Étape 4
Évaluez la limite.
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Étape 4.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 4.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 4.3
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 4.4
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 4.5
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 4.6
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 4.7
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 6
Simplifiez la réponse.
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Étape 6.1
Simplifiez le dénominateur.
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Étape 6.1.1
Multipliez par .
Étape 6.1.2
Additionnez et .
Étape 6.2
Annulez le facteur commun de .
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Étape 6.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.3
Multipliez par .
Étape 6.4
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .