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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Réécrivez comme .
Étape 1.2
Développez en déplaçant hors du logarithme.
Étape 2
Étape 2.1
Placez la limite dans l’exposant.
Étape 2.2
Associez et .
Étape 3
Étape 3.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 3.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 3.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 3.1.2.1
Évaluez la limite.
Étape 3.1.2.1.1
Placez la limite à l’intérieur du logarithme.
Étape 3.1.2.1.2
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 3.1.2.1.3
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 3.1.2.1.4
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 3.1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.1.2.3
Simplifiez la réponse.
Étape 3.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 3.1.2.3.2
Additionnez et .
Étape 3.1.2.3.3
Le logarithme naturel de est .
Étape 3.1.3
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 3.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 3.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 3.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 3.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.3.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.3.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.5
Additionnez et .
Étape 3.3.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.7
Associez et .
Étape 3.3.8
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.3.9
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.3.10
Multipliez par .
Étape 3.3.11
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 3.5
Multipliez par .
Étape 4
Étape 4.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 4.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 4.3
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 4.4
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 4.5
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 4.6
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 4.7
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 6
Étape 6.1
Simplifiez le dénominateur.
Étape 6.1.1
Multipliez par .
Étape 6.1.2
Additionnez et .
Étape 6.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.3
Multipliez par .
Étape 6.4
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .