Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(e^{t} + 1)}^{2} d t$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez ${(e^{t} + 1)}^{2}$ comme $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$\int (e^{t} + 1) (e^{t} + 1) d t$

Étape 1.2

Développez $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1) d t$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1) d t$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $e^{t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Étape 1.3.1.1.2

Additionnez $t$ et $t$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $e^{t}$ par $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $e^{t}$ par $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 d t$

Étape 1.3.2

Additionnez $e^{t}$ et $e^{t}$ .

$\int e^{2 t} + 2 e^{t} + 1 d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{2 t} d t + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Étape 3

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Étape 4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{t} d t + \int d t$

Étape 8

L’intégrale de $e^{t}$ par rapport à $t$ est $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + \int d t$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + t + C$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{t} + t + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$\frac{1}{2} e^{2 t} + 2 e^{t} + t + C$