Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{7} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x^{3}} d x$

Étape 1

Réécrivez $\frac{\ln (x^{2})}{x^{3}}$ comme $\frac{2 \ln (x)}{x^{3}}$ .

$\int_{1}^{7} \frac{2 \ln (x)}{x^{3}} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{7} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{- 3} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{- 3}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x)$

Étape 5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x)$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x)$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - - \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + 1 \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Étape 7.2

Multipliez $\int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ par $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x)$

Étape 9.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x)$

Étape 9.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{- 3} d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{7})$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7})$

Étape 11.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}}{2})$

Étape 11.1.3

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Évaluez $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ sur $7$ et sur $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Étape 11.2.2

Évaluez $- \frac{1}{2 x^{2}}$ sur $7$ et sur $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Étape 11.2.3

Simplifiez

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Étape 11.2.3.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 49} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $2$ par $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Étape 11.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Étape 11.2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Étape 11.2.3.5

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Étape 11.2.3.6

Multipliez $2$ par $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Étape 11.2.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1}}{2})$

Étape 11.2.3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}}{2})$

Étape 11.2.3.9

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{49}}{2})$

Étape 11.2.3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $98$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.3.10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{2 \cdot 49}}{2})$

Étape 11.2.3.10.2

Multipliez $2$ par $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}}{2})$

Étape 11.2.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{- 1 + 49}{98}}{2})$

Étape 11.2.3.12

Additionnez $- 1$ et $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{48}{98}}{2})$

Étape 11.2.3.13

Annulez le facteur commun à $48$ et $98$ .

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Étape 11.2.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 (24)}{98}}{2})$

Étape 11.2.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Étape 11.2.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Étape 11.2.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{24}{49}}{2})$

Étape 11.2.3.14

Réécrivez $\frac{\frac{24}{49}}{2}$ comme un produit.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 11.2.3.15

Multipliez $\frac{24}{49}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49 \cdot 2})$

Étape 11.2.3.16

Multipliez $49$ par $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{98})$

Étape 11.2.3.17

Annulez le facteur commun à $24$ et $98$ .

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Étape 11.2.3.17.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 (12)}{98})$

Étape 11.2.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Étape 11.2.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Étape 11.2.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{12}{49})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{0}{2} + \frac{12}{49})$

Étape 12.1.2

Divisez $0$ par $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + 0 + \frac{12}{49})$

Étape 12.2

Additionnez $- \frac{\ln (7)}{98}$ et $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{12}{49})$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98}) + 2 (\frac{12}{49})$

Étape 12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (7)}{98}$ dans le numérateur.

$2 \frac{- \ln (7)}{98} + 2 (\frac{12}{49})$

Étape 12.4.2

Factorisez $2$ à partir de $98$ .

$2 \frac{- \ln (7)}{2 (49)} + 2 (\frac{12}{49})$

Étape 12.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- \ln (7)}{2 \cdot 49} + 2 (\frac{12}{49})$

Étape 12.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \ln (7)}{49} + 2 (\frac{12}{49})$

Étape 12.5

Multipliez $2 (\frac{12}{49})$ .

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Étape 12.5.1

Associez $2$ et $\frac{12}{49}$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{2 \cdot 12}{49}$

Étape 12.5.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Étape 12.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Forme décimale :

$0.45008346 \dots$