Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{5 x^{5} + 5 x^{2} + 10}{x^{3} - x} d x$

Étape 1

Divisez $5 x^{5} + 5 x^{2} + 10$ par $x^{3} - x$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{5} + 0 - 5 x^{3} + 0$

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Étape 1.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{3} + 0 - 5 x + 0$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10$

Étape 1.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 5 x^{2} + 5 + \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Étape 7

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 7.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 7.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} + 5 x + 10$ .

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Étape 7.1.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 10}{x^{3} - x}$

Étape 7.1.1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (x) + 10}{x^{3} - x}$

Étape 7.1.1.1.3

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Étape 7.1.1.1.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2}) + 5 x$ .

$\frac{5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Étape 7.1.1.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x^{3} - x}$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - x$ .

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Étape 7.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} - x}$

Étape 7.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Étape 7.1.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1)}$

Étape 7.1.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Étape 7.1.1.4

Factorisez.

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Étape 7.1.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Étape 7.1.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Étape 7.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Étape 7.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Étape 7.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.6

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 7.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.7

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 7.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.7.2

Divisez $5 (x^{2} + x + 2)$ par $1$ .

$5 (x^{2} + x + 2) = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.9

Multipliez $5$ par $2$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.10.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1.10.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.1.2

Divisez $A ((x + 1) (x - 1))$ par $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.2

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.10.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.10.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.3.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.4

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.6

Réécrivez $- 1 A$ comme $- A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.7

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 7.1.10.7.1

Annulez le facteur commun.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.7.2

Divisez $(B) (x (x - 1))$ par $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.8

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.9

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.10

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.11

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.12

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.14

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 7.1.10.14.1

Annulez le facteur commun.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Étape 7.1.10.14.2

Divisez $(C) (x (x + 1))$ par $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Étape 7.1.10.15

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Étape 7.1.10.16

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Étape 7.1.10.17

Multipliez $x$ par $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Étape 7.1.10.18

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Étape 7.1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1.11.1

Déplacez $B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Étape 7.1.11.2

Déplacez $- A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Étape 7.1.11.3

Déplacez $- x B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Étape 7.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 7.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$5 = A + B + C$

Étape 7.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$10 = - 1 A$

Étape 7.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

Étape 7.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Résolvez $A$ dans $10 = - 1 A$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 A = 10$ .

$- 1 A = 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 1 A = 10$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 1 A = 10$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{A}{1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.3.1.2.2.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.2.3.1

Divisez $10$ par $- 1$ .

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- 10$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $5 = A + B + C$ par $- 10$ .

$5 = (- 10) + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.3.3

Résolvez $B$ dans $5 = - 10 + B + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 10 + B + C = 5$ .

$- 10 + B + C = 5$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.1

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$B + C = 5 + 10$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.3.3.2.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$B = 5 + 10 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.3.3.2.3

Additionnez $5$ et $10$ .

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Étape 7.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $15 - C$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $5 = - 1 B + C$ par $15 - C$ .

$5 = - 1 (15 - C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.4.2.1

Simplifiez $- 1 (15 - C) + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 = - 1 \cdot 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.4.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$5 = - 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.4.2.1.1.3

Multipliez $- 1 (- C)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.4.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$5 = - 15 + 1 C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.4.2.1.1.3.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.4.2.1.2

Additionnez $C$ et $C$ .

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.5

Résolvez $C$ dans $5 = - 15 + 2 C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 15 + 2 C = 5$ .

$- 15 + 2 C = 5$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.2.1

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$2 C = 5 + 15$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.5.2.2

Additionnez $5$ et $15$ .

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.5.3

Divisez chaque terme dans $2 C = 20$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 C = 20$ par $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.5.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.3.3.1

Divisez $20$ par $2$ .

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Étape 7.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $10$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $B = 15 - C$ par $10$ .

$B = 15 - (10)$

$C = 10$

$A = - 10$

Étape 7.3.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.6.2.1

Simplifiez $15 - (10)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$B = 15 - 10$

$C = 10$

$A = - 10$

Étape 7.3.6.2.1.2

Soustrayez $10$ de $15$ .

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

Étape 7.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$B = 5, C = 10, A = - 10$

Étape 7.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$- \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$

Étape 7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1} d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - \int \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Étape 10

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Étape 11

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Étape 13

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Étape 14

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 14.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 14.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 14.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 14.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 14.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Étape 15

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Étape 16

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 17

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 17.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 17.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 17.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 17.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 17.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 18

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 19

Simplifiez

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| u_{1} |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 20

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 20.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$

Étape 21

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{3} x^{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$