Calcul infinitésimal Exemples

$\int (2 x - 1) \ln (7 x) d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 x \ln (7 x) - 1 \ln (7 x) d x$

Étape 1.2

Simplifiez $2 \ln (7 x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - 1 \ln (7 x) d x$

Étape 1.3

Réécrivez $- 1 \ln (7 x)$ comme $- \ln (7 x)$ .

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - \ln (7 x) d x$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de produit à $7 x$ .

$\int x \ln (7^{2} x^{2}) - \ln (7 x) d x$

Étape 1.4.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\int x \ln (49 x^{2}) - \ln (7 x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x \ln (49 x^{2}) d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (49 x^{2})$ et $d v = x$ .

$\ln (49 x^{2}) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (49 x^{2}) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 4.2

Associez $\ln (49 x^{2})$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot x^{2}}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 6.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 6.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 6.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 6.3.2.5

Divisez $2 x$ par $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int 2 x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 2 x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 8.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 8.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - \int \ln (7 x) d x$

Étape 12

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (7 x)$ et $d v = 1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int d x)$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - (x + C))$

Étape 15

Simplifiez

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln (7 x) x + x + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \ln (49 x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (7 x) x + x + C$