Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale 8 intégrale de 0 à 1 de x^3 racine carrée de 1-x^2 par rapport à x
Étape 1
Laissez , où . Puis . Depuis , est positif.
Étape 2
Simplifiez les termes.
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Étape 2.1
Simplifiez .
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Étape 2.1.1
Appliquez l’identité pythagoricienne.
Étape 2.1.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 2.2
Simplifiez
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Étape 2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.4
Additionnez et .
Étape 3
Factorisez .
Étape 4
Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire comme .
Étape 5
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
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Étape 5.1
Laissez . Déterminez .
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Étape 5.1.1
Différenciez .
Étape 5.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 5.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 5.3
La valeur exacte de est .
Étape 5.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 5.5
La valeur exacte de est .
Étape 5.6
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 5.7
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 6
Multipliez .
Étape 7
Simplifiez
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Étape 7.1
Réécrivez comme .
Étape 7.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
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Étape 7.2.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 7.2.2
Additionnez et .
Étape 8
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 9
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 10
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 11
Associez et .
Étape 12
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 13
Associez et .
Étape 14
Remplacez et simplifiez.
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Étape 14.1
Évaluez sur et sur .
Étape 14.2
Évaluez sur et sur .
Étape 14.3
Simplifiez
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Étape 14.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 14.3.2
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 14.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 14.3.2.2
Annulez les facteurs communs.
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Étape 14.3.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 14.3.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 14.3.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 14.3.2.2.4
Divisez par .
Étape 14.3.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 14.3.4
Soustrayez de .
Étape 14.3.5
Multipliez par .
Étape 14.3.6
Multipliez par .
Étape 14.3.7
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 14.3.8
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 14.3.8.1
Factorisez à partir de .
Étape 14.3.8.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.3.8.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 14.3.8.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 14.3.8.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 14.3.8.2.4
Divisez par .
Étape 14.3.9
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 14.3.10
Soustrayez de .
Étape 14.3.11
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 14.3.12
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 14.3.13
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
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Étape 14.3.13.1
Multipliez par .
Étape 14.3.13.2
Multipliez par .
Étape 14.3.13.3
Multipliez par .
Étape 14.3.13.4
Multipliez par .
Étape 14.3.14
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 14.3.15
Soustrayez de .
Étape 14.3.16
Associez et .
Étape 14.3.17
Multipliez par .
Étape 15
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :
Forme de nombre mixte :
Étape 16