Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 2 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $4 \cos^{2} (t)$ comme ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \cos (t)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2 \cos (t)$ à partir de ${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

Étape 4

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ à $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

Étape 5

Comme la dérivée de $- \cot (t)$ est $\csc^{2} (t)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (t)$ est $- \cot (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cot (t)$ .

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Ainsi, $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ est $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Étape 8.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.9

Multipliez $\frac{2 + x}{2}$ par $\frac{2 - x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.11

Réécrivez $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Étape 8.1.11.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(2 + x) (2 - x)$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.11.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.11.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.13

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.14.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.14.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.15

Associez $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ et $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

Étape 8.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

Étape 8.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$