Calcul infinitésimal Exemples

$\int 9 z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $z$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

Étape 2

Laissez $u = 3 z^{2} - 7$ . Alors $d u = 6 z d z$ , donc $\frac{1}{6} d u = z d z$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 z^{2} - 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d z}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 z^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2} - 7]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 z^{2} - 7$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d z} [3 z^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $3 z^{2}$ par rapport à $z$ est $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 7]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 z + \frac{d}{d z} [- 7]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $z$ est $0$ .

$6 z + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $6 z$ et $0$ .

$6 z$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{6} d u$

Étape 3

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{6} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{1}{6} \int \sqrt{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $9$ .

$\frac{9}{6} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 (3)}{6} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.5

Multipliez $u^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 z^{2} - 7$ .

${(3 z^{2} - 7)}^{\frac{3}{2}} + C$