Calcul infinitésimal Exemples

$\int \ln (4 x + 1) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (4 x + 1)$ et $d v = 1$ .

$\ln (4 x + 1) x - \int x \frac{4}{4 x + 1} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{4}{4 x + 1}$ .

$\ln (4 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 4}{4 x + 1} d x$

Étape 2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - \int \frac{4 x}{4 x + 1} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (4 x + 1) x - (4 \int \frac{x}{4 x + 1} d x)$

Étape 4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 \int \frac{x}{4 x + 1} d x$

Étape 5

Divisez $x$ par $4 x + 1$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x$

$1$

$x$

$0$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{4}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + \frac{1}{4}$

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{4}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{4}$
					-	$\frac{1}{4}$

Étape 5.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\ln (4 x + 1) x - 4 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\int \frac{1}{4} d x + \int - \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x)$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \int - \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x + C - \int \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x + C - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{4 x + 1} d x))$

Étape 10

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 x + 1} d x)$

Étape 11

Laissez $u = 4 x + 1$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 11.1

Laissez $u = 4 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 11.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 11.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 11.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u)$

Étape 12.2

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u} d u)$

Étape 13

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u))$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 14.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 15

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{16} (\ln (| u |) + C))$

Étape 16

Simplifiez

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{16} \ln (| u |)) + C$

Étape 17

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 1$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{16} \ln (| 4 x + 1 |)) + C$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{16} \ln (| 4 x + 1 |)) + C$

Étape 18.1.2

Associez $\ln (| 4 x + 1 |)$ et $\frac{1}{16}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Étape 18.2

Pour écrire $\frac{x}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Étape 18.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 18.3.1

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Étape 18.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{16} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Étape 18.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (4 x + 1) x - 4 \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{16} + C$

Étape 18.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 18.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\ln (4 x + 1) x + 4 (- 1) \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{16} + C$

Étape 18.5.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\ln (4 x + 1) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{4 \cdot 4} + C$

Étape 18.5.3

Annulez le facteur commun.

$\ln (4 x + 1) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{4 \cdot 4} + C$

Étape 18.5.4

Réécrivez l’expression.

$\ln (4 x + 1) x - \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{4} + C$

Étape 18.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - \frac{4 x - \ln (| 4 x + 1 |)}{4} + C$

Étape 19

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (4 x + 1) x - \frac{1}{4} (4 x - \ln (| 4 x + 1 |)) + C$