Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \log (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \log (x)$ et $d v = x$ .

$\log (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\log (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Étape 2.2

Associez $\log (x)$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x \ln (10)} d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (10)} d x)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (10)$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))} d x)$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (10)} d x)$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (10)} d x)$

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (10)} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{\ln (10)}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{\ln (10)}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (10)} \int x d x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{\ln (10)}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{\ln (10) \cdot 2} \int x d x$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (10)$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \int x d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Réécrivez $\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\log (x)$ .

$\frac{\log (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.2.2

Associez $\frac{\log (x)}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2 \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 (2 \ln (10))} x^{2} + C$

Étape 8.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$

Étape 8.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{4 \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4 \ln (10)} + C$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$