Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{2} + \sqrt{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ et $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.9

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.10

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.11

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 5.2.2.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.12.1

Annulez le facteur commun.

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 5.2.2.12.2

Réécrivez l’expression.

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 5.2.2.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Étape 5.2.2.14

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $0$ .

$1 - (0 + 0)$

Étape 5.2.2.15

Additionnez $0$ et $0$ .

$1 - 0$

Étape 5.2.2.16

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.2.2.17

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6