Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 2.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {\sqrt{3}}^{2} + 1$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Étape 2.5.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u_{upper} = 3^{\frac{2}{2}} + 1$

Étape 2.5.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 3^{\frac{2}{2}} + 1$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 3^{1} + 1$

Étape 2.5.1.5

Évaluez l’exposant.

$u_{upper} = 3 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5.1.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 5.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 5.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$2 \int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.4

Évaluez l’exposant.

$2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (4 - 2 \cdot 1)$

Étape 7.2.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 (4 - 2)$

Étape 7.2.8

Soustrayez $2$ de $4$ .

$2 \cdot 2$

Étape 7.2.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 8