Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{7} \sqrt{y + 9} d y$

Étape 1

Laissez $u = y + 9$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = y + 9$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 9$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 1.1.4

Comme $9$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $9$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = y + 9$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Étape 1.3

Additionnez $0$ et $9$ .

$u_{lower} = 9$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 7 + 9$

Étape 1.5

Additionnez $7$ et $9$ .

$u_{upper} = 16$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $16$ et sur $9$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.6

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.7

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

Étape 4.2.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27$

Étape 4.2.11

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$\frac{128}{3} - 27 (\frac{2}{3})$

Étape 4.2.12

Associez $- 27$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3}$

Étape 4.2.13

Multipliez $- 27$ par $2$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 54}{3}$

Étape 4.2.14

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $3$ .

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Étape 4.2.14.1

Factorisez $3$ à partir de $- 54$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3}$

Étape 4.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)}$

Étape 4.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1}$

Étape 4.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{128}{3} + \frac{- 18}{1}$

Étape 4.2.14.2.4

Divisez $- 18$ par $1$ .

$\frac{128}{3} - 18$

Étape 4.2.15

Pour écrire $- 18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.2.16

Associez $- 18$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.18.1

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$\frac{128 - 54}{3}$

Étape 4.2.18.2

Soustrayez $54$ de $128$ .

$\frac{74}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{74}{3}$

Forme décimale :

$24.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$24 \frac{2}{3}$

Étape 6