Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.3

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ par $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 16

Associez $4$ et $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 17.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.2.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 17.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 17.3

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x^{2} + 4$ .

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Étape 17.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 17.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 17.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 17.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 17.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 17.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 17.7

Réécrivez $- (3 x^{2} - 1)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 17.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$