Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.6

Associez les fractions.

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Étape 1.1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.6.3

Placez ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 1.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 1.1.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Étape 1.1.10

Associez les fractions.

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Étape 1.1.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Étape 1.1.10.2

Associez $2$ et $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Étape 1.1.10.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Étape 1.1.10.4

Associez $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 4} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 4})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2} - 4}$ comme ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 (x^{2} - 4) = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 4 = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.6

Multipliez $27$ par $- 4$ .

$27 x^{2} - 108 = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x^{2} - 108 = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Ajoutez $108$ aux deux côtés de l’équation.

$27 x^{2} = 108$

Étape 3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 108$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 108$ par $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Étape 3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Étape 3.3.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{108}{27}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.3.1

Divisez $108$ par $27$ .

$x^{2} = 4$

Étape 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 3.3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 3.3.3.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.3.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 3.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 3.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 3.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 3.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Étape 4

Évaluez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(0 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

${(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$0^{2}$

Étape 4.2.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.1.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$0^{2}$

Étape 4.3.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, {(- 4)}^{\frac{2}{3}}), (- 2, 0), (2, 0)$

Étape 5