Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{4}^{5} \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Étape 1

Divisez $x^{3} - 3 x^{2} - 9$ par $x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

									$1$
	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 0$

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$
													-	$9$

Étape 1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{4}^{5} 1 - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{4}^{5} d x + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{4}^{5} - (9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x)$

Étape 6

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Étape 7

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 7.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 7.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2} x - 3 x^{2}}$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{1}{x^{2} (x - 3)}$

Étape 7.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$

Étape 7.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x^{2} (x - 3)$ .

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.5

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 7.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.6.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.1.2

Divisez $A (x - 3)$ par $1$ .

$1 = A (x - 3) + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x + A \cdot - 3 + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $A$ .

$1 = A x - 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 7.1.6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $B (x^{2} (x - 3))$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.6.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$1 = A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.4.2.5

Divisez $B (x (x - 3))$ par $1$ .

$1 = A x - 3 A + B (x (x - 3)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.7

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} - 3 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.8

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} + B (- 3 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.10

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 7.1.6.10.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{C (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Étape 7.1.6.10.2

Divisez $(C) (x^{2})$ par $1$ .

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2}$

Étape 7.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1.7.1

Déplacez $B$ .

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2}$

Étape 7.1.7.2

Déplacez $- 3 A$ .

$1 = A x + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 3 A$

Étape 7.1.7.3

Déplacez $- 3 x B$ .

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B - 3 A$

Étape 7.1.7.4

Déplacez $A x$ .

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 3 x B - 3 A$

Étape 7.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 7.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = B + C$

Étape 7.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A - 3 B$

Étape 7.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 3 A$

Étape 7.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

Étape 7.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 7.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = - 3 A$ .

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Étape 7.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Étape 7.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 3 A = 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 A = 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Étape 7.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 7.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Étape 7.3.1.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Étape 7.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Étape 7.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- \frac{1}{3}$ dans chaque équation.

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Étape 7.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A - 3 B$ par $- \frac{1}{3}$ .

$0 = (- \frac{1}{3}) - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Étape 7.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - \frac{1}{3} - 3 B$ .

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Étape 7.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{3} - 3 B = 0$ .

$- \frac{1}{3} - 3 B = 0$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Étape 7.3.3.2

Ajoutez $\frac{1}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 B = \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Étape 7.3.3.3

Divisez chaque terme dans $- 3 B = \frac{1}{3}$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 7.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 B = \frac{1}{3}$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Étape 7.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 7.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Étape 7.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Étape 7.3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$B = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Étape 7.3.3.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$B = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{3})$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Étape 7.3.3.3.3.3

Multipliez $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 7.3.3.3.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$B = - \frac{1}{3 \cdot 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Étape 7.3.3.3.3.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Étape 7.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- \frac{1}{9}$ dans chaque équation.

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Étape 7.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = B + C$ par $- \frac{1}{9}$ .

$0 = (- \frac{1}{9}) + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Étape 7.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Étape 7.3.5

Résolvez $C$ dans $0 = - \frac{1}{9} + C$ .

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Étape 7.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{9} + C = 0$ .

$- \frac{1}{9} + C = 0$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Étape 7.3.5.2

Ajoutez $\frac{1}{9}$ aux deux côtés de l’équation.

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Étape 7.3.6

Résolvez le système d’équations.

$C = \frac{1}{9} B = - \frac{1}{9} A = - \frac{1}{3}$

Étape 7.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$C = \frac{1}{9}, B = - \frac{1}{9}, A = - \frac{1}{3}$

Étape 7.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{x^{2}} - \frac{\frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Étape 7.5.2

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 3} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Étape 7.5.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Étape 7.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Étape 7.5.5

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{x \cdot 9} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Étape 7.5.6

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Étape 7.5.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Étape 7.5.8

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{1}{x - 3}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9 (x - 3)} d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x]_{4}^{5} - 9 (\int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \int_{4}^{5} \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{4}^{5} - 9 (- (\frac{1}{3} \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x) + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 11

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 11.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 11.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 11.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 11.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{- 2} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} - x^{- 1}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 13

Associez $- x^{- 1}]_{4}^{5}$ et $\frac{1}{3}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \int_{4}^{5} \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 15

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - (\frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x} d x) + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 16

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{1}{9} \ln (| x |)]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 17

Associez $\ln (| x |)]_{4}^{5}$ et $\frac{1}{9}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Étape 18

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 3} d x)$

Étape 19

Laissez $u = x - 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 19.1

Laissez $u = x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 19.1.1

Différenciez $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 19.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 19.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 19.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 19.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 19.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Étape 19.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 19.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 5 - 3$

Étape 19.5

Soustrayez $3$ de $5$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 19.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 19.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Étape 20

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \ln (| u |)]_{1}^{2})$

Étape 21

Associez $\frac{1}{9}$ et $\ln (| u |)]_{1}^{2}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Étape 22

Remplacez et simplifiez.

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Étape 22.1

Évaluez $x$ sur $5$ et sur $4$ .

$(5) - 4 - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Étape 22.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $5$ et sur $4$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Étape 22.3

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $5$ et sur $4$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Étape 22.4

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5

Simplifiez

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Étape 22.5.1

Soustrayez $4$ de $5$ .

$1 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.4

Pour écrire $- \frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.5

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $20$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 22.5.6.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.6.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.6.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.6.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - 9 (- \frac{\frac{- 4 + 5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.8

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$1 - 9 (- \frac{\frac{1}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.9

Réécrivez $\frac{\frac{1}{20}}{3}$ comme un produit.

$1 - 9 (- (\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{3}) - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.10

Multipliez $\frac{1}{20}$ par $\frac{1}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{20 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.11

Multipliez $20$ par $3$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.12

Pour écrire $- \frac{1}{60}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.13

Pour écrire $- \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.14

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $180$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 22.5.14.1

Multipliez $\frac{1}{60}$ par $\frac{3}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{60 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.14.2

Multipliez $60$ par $3$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.14.3

Multipliez $\frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ par $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.14.4

Multipliez $9$ par $20$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - 9 (\frac{- 3 - (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.16

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Étape 22.5.17

Pour écrire $\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9} \cdot \frac{20}{20})$

Étape 22.5.18

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $180$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 22.5.18.1

Multipliez $\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ par $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20})$

Étape 22.5.18.2

Multipliez $9$ par $20$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180})$

Étape 22.5.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180}$

Étape 22.5.20

Déplacez $20$ à gauche de $\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$ .

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 \cdot (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$

Étape 22.5.21

Associez $- 9$ et $\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$ .

$1 + \frac{- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{180}$

Étape 22.5.22

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $180$ .

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Étape 22.5.22.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$ .

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{180}$

Étape 22.5.22.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 22.5.22.2.1

Factorisez $9$ à partir de $180$ .

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 (20)}$

Étape 22.5.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 \cdot 20}$

Étape 22.5.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{20}$

Étape 22.5.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

Étape 23

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Étape 23.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

Étape 23.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

Étape 23.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{20}{20} - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

Étape 23.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Étape 24

Simplifiez

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Étape 24.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Étape 24.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Étape 24.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{| 1 |}))}{20}$

Étape 24.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{1}))}{20}$

Étape 24.5

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (2))}{20}$

Étape 24.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20 - - 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

Étape 24.7

Simplifiez

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Étape 24.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{20 + 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

Étape 24.7.2

Multipliez $- 20$ par $- 1$ .

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - (20 \ln (2))}{20}$

Étape 24.7.3

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Étape 24.8

Additionnez $20$ et $3$ .

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Étape 25

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Forme décimale :

$0.67999637 \dots$

Étape 26