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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Différenciez.
Étape 1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2
Évaluez .
Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Réécrivez comme .
Étape 1.2.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.4
Multipliez par .
Étape 1.3
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.4
Simplifiez
Étape 1.4.1
Associez des termes.
Étape 1.4.1.1
Associez et .
Étape 1.4.1.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.4.2
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Réécrivez comme .
Étape 2.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.5
Multipliez les exposants dans .
Étape 2.2.5.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.5.2
Multipliez par .
Étape 2.2.6
Multipliez par .
Étape 2.2.7
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.8
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.9
Soustrayez de .
Étape 2.2.10
Multipliez par .
Étape 2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4
Simplifiez
Étape 2.4.1
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.4.2
Associez des termes.
Étape 2.4.2.1
Associez et .
Étape 2.4.2.2
Additionnez et .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 4.1.1
Différenciez.
Étape 4.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.1.2
Évaluez .
Étape 4.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Réécrivez comme .
Étape 4.1.2.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.1.2.4
Multipliez par .
Étape 4.1.3
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 4.1.4
Simplifiez
Étape 4.1.4.1
Associez des termes.
Étape 4.1.4.1.1
Associez et .
Étape 4.1.4.1.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.1.4.2
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.3
Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.
Étape 5.3.1
Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.
Étape 5.3.2
Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.
Étape 5.4
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Étape 5.4.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 5.4.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 5.4.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.4.2.1.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 5.4.2.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.4.2.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.5
Résolvez l’équation.
Étape 5.5.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 5.5.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 5.5.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.5.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 5.5.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 5.5.2.2.2
Divisez par .
Étape 5.5.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 5.5.2.3.1
Divisez par .
Étape 5.5.3
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 5.5.4
Simplifiez .
Étape 5.5.4.1
Réécrivez comme .
Étape 5.5.4.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 5.5.5
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 5.5.5.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 5.5.5.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 5.5.5.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 6
Étape 6.1
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 6.2
Résolvez .
Étape 6.2.1
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 6.2.2
Simplifiez .
Étape 6.2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 6.2.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 6.2.2.3
Plus ou moins est .
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Étape 9.1
Élevez à la puissance .
Étape 9.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 9.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 9.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 10
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 11
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Étape 11.2.1
Divisez par .
Étape 11.2.2
Additionnez et .
Étape 11.2.3
La réponse finale est .
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 13
Étape 13.1
Élevez à la puissance .
Étape 13.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 13.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 13.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 13.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 13.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 13.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 13.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 14
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 15
Étape 15.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 15.2
Simplifiez le résultat.
Étape 15.2.1
Divisez par .
Étape 15.2.2
Soustrayez de .
Étape 15.2.3
La réponse finale est .
Étape 16
Ce sont les extrema locaux pour .
est un minimum local
est un maximum local
Étape 17