Calcul infinitésimal Exemples

Trouver les minimums et maximums locaux f(x)=x/(x^2+9)
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 1.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.2
Multipliez par .
Étape 1.2.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.6
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.1
Additionnez et .
Étape 1.2.6.2
Multipliez par .
Étape 1.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.4
Élevez à la puissance .
Étape 1.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.6
Additionnez et .
Étape 1.7
Soustrayez de .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 2.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.2.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.5
Multipliez par .
Étape 2.2.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.7
Additionnez et .
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.4
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Multipliez par .
Étape 2.4.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.4.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.5
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.5.1
Additionnez et .
Étape 2.4.5.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.4.5.3
Multipliez par .
Étape 2.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 2.5.3.1.2
Réécrivez comme .
Étape 2.5.3.1.3
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.3.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.4
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.4.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.4.1.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.4.1.1.2
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.4.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.5.3.1.4.1.3
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.4.2
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.6.1
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.6.2
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.8
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.8.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.8.1.1
Déplacez .
Étape 2.5.3.1.8.1.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.8.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.5.3.1.8.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.8.1.3
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.8.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.8.2.1
Déplacez .
Étape 2.5.3.1.8.2.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.8.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.5.3.1.8.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.8.2.3
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.9
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.9.1
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.9.2
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.10
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.10.1
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.10.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.5.3.1.10.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.10.2
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.11
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.11.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.11.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.11.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.12
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.12.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.12.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.12.1.1.1
Déplacez .
Étape 2.5.3.1.12.1.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.12.1.1.3
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.12.1.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 2.5.3.1.12.1.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.12.1.3.1
Déplacez .
Étape 2.5.3.1.12.1.3.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.3.1.12.1.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.5.3.1.12.1.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.12.1.3.3
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.12.1.4
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.12.1.5
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.12.2
Soustrayez de .
Étape 2.5.3.1.12.3
Additionnez et .
Étape 2.5.3.2
Additionnez et .
Étape 2.5.3.3
Soustrayez de .
Étape 2.5.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.4.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.4.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.4.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.4.2
Réécrivez comme .
Étape 2.5.4.3
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.5.4.4
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.4.4.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 2.5.4.4.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 2.5.4.5
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.5.5
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.5.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.5.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.5.5.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 4.1.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.2.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.2.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.6
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.6.1
Additionnez et .
Étape 4.1.2.6.2
Multipliez par .
Étape 4.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 4.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 4.1.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.1.6
Additionnez et .
Étape 4.1.7
Soustrayez de .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 5.3
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.3.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 5.3.2.2.2
Divisez par .
Étape 5.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.3.1
Divisez par .
Étape 5.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 5.3.4
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.4.1
Réécrivez comme .
Étape 5.3.4.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 5.3.5
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.5.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 5.3.5.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 5.3.5.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Multipliez par .
Étape 9.2
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 9.2.2
Additionnez et .
Étape 9.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 9.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 9.3.2
Soustrayez de .
Étape 9.4
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.4.1
Multipliez par .
Étape 9.4.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.4.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.4.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.4.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.4.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 9.4.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 10
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 11
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 11.2.1.2
Additionnez et .
Étape 11.2.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 11.2.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 11.2.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 11.2.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 11.2.3
La réponse finale est .
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Multipliez par .
Étape 13.2
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 13.2.2
Additionnez et .
Étape 13.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 13.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 13.3.2
Soustrayez de .
Étape 13.4
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.4.1
Multipliez par .
Étape 13.4.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 13.4.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.4.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 13.4.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 13.4.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 14
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 15
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 15.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.1
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 15.2.1.2
Additionnez et .
Étape 15.2.2
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.2.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 15.2.2.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.2.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 15.2.2.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 15.2.2.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 15.2.2.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 15.2.3
La réponse finale est .
Étape 16
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
Étape 17